Software: SimX - Nadelantrieb - Probabilistik - Moment-Methoden

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Moment-Methoden (Überblick)

Vergleichend zur probabilistischen Simulation mit der Sample-Methode Latin Hypercube Sampling soll nun der analytische Ansatz der Moment-Methode betrachtet werden:

• Wir nutzen die vorhandene .opy-Projektdatei Etappe4_xx.opy, welche für das Latin Hypercube Sampling mit 5 Streuungen konfiguriert ist.
• Nach dem Öffnen dieser Datei kann man den Experiment-Workflow mit den konfigurierten Entwurfsparameter-Streuungen und den Restriktionen unverändert nutzen.
• Alle Analyse-Fenster sollte man definiert schließen, um sich die mit der Moment-Methode verfügbaren Ergebnisse dann schrittweise zu erschließen.
• Die Versuchsplanung müssen wir entsprechend umkonfigurieren.

Bei der Moment-Methode handelt sich um ein analytisches Verfahren. Für jede betrachtete Output-Größe eines Modells wird eine Funktion f gebildet, mit welcher sich der Wert der Output-Größe aus dem Variablenvektor x der n Streugrößen berechnen lässt:

• Für die Approximation jeder dieser Funktionen f wird eine Taylor-Reihe erster bzw. zweiter Ordnung benutzt (Glied 2. Ordnung gelb):

• Wenn Interaktionen zwischen Eingangsgrößen existieren, werden sie paarweise berücksichtigt. Die Ersatzfunktion f wird dafür um ein Glied mit linearen Kreuzableitungen (grün) ergänzt.
• Die statistischen Momente der Ausgangsgrößen werden näherungsweise aus den Momenten der Eingangsgrößen berechnet. Aus den ermittelten Momenten werden anschließend die Verteilungen der Ausgangsgrößen approximiert.

Die erforderlichen Ersatz-Übertragungsfunktionen werden durch die Berechnung von Stützstellen gewonnen:

            |             |Modellberechnungen|Modellberechnungen |
Verfahren   | Verhalten   | ohne Interaktion | mit Interaktion   |
------------|-------------|------------------|-------------------|  
First Order | linear      |      n+1         |    2n²-n+1        |
Second Order| quadratisch |      2n+1        |    2n²+1          |

Bedingt durch die kombinatorische Abtastung des Modells steigt die benötigte Anzahl der Modell-Läufe quadratisch mit der Anzahl der Streugrößen n, wenn man Interaktionen zwischen den Streugrößen berücksichtigen muss:

• Im Unterschied zu den Sample-Verfahren ist deshalb das Wissen über existierende Interaktionen sehr wichtig für die Wahl einer optimalen Approximationsfunktion.
• Die Information über Interaktionen zwischen den Streugrößen gewinnt man aus dem Vergleich zwischen Haupt- und Total-Effekten der globalen Sensitivitäten.

Vorteile:

• Das Moment-Verfahren arbeitet sehr genau, wenn das Verhalten der Ausgangsgrößen im Streubereich annähernd lineare oder quadratische Abhängigkeiten zu den Streugrößen aufweist. Die Ergebnisse mit 4 Streugrößen sind dann vergleichbar mit einer Monte-Carlo-Simulation bei einer Stichprobengröße von 100 000.
• Da das Verfahren ohne Zufallszahlen arbeitet, ist es numerisch sehr stabil und erlaubt auch eine schnelle Optimierung unter Berücksichtigung von Streugrößen.

Nachteile:

• Nicht "Fehler-Tolerant":
  • Bei der Sample-Methode werden einzelne, abnormal beendete Simulationen in der Stichprobe einfach nicht berücksichtigt.
  • Bei der Moment-Methode muss jede Stützstelle korrekt berechnet werden, um die Ersatzfunktion zu generieren. Das stellt sehr hohe Ansprüche an die numerische Stabilität des Simulationsmodells!
• Hoher Rechenaufwand bei einer großen Anzahl von interagierenden Streugrößen.
• Die Teilversagenswahrscheinlichkeiten der einzelnen Restriktionen F_i können mit der Moment-Methode sehr genau berechnet werden, weil die Verteilungsdichten der Restriktionen bekannt sind. Aber die gesamte Systemversagenswahrscheinlichkeit F kann man damit im Unterschied zur Sample-Methode nicht ermitteln! Es wird deshalb eine Hilfsgröße F als Gütekriterium für die Optimierung berechnet, die sich aus den Teilversagenswahrscheinlichkeiten mit den Gewichtsfaktoren w_i der einzelnen Restriktionen summiert:
  

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