Software: FEM - Tutorial - 3D-Mechanik - Z88 - nichtlineare Deformation

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Nichtlineare Deformation

Für lineare Systeme gilt das Superpositionsprinzip:

• Wirken gleichzeitig mehrere Eingangsgrößen x_i (Lastwerte), so ergeben sich die Lösungen für die Ergebnisgrößen y_n als Summe der Wirkung der einzelnen Eingangsgrößen.
• Voraussetzung ist eine lineare Übertragungsfunktion Y=f(X) zwischen allen Eingangsgrößen und den berechneten Ergebnisgrößen.
• Für umfangreiche lineare Gleichungssysteme hat dies den Vorteil, dass nicht für jeden Lastfall das Gleichungssystem neu gelöst werden muss, da man anhand von Proportionalitäten die skalierten Ergebnisse eines Lastfalls nutzen kann.

Nichtlineare Systeme → das Superpositionsprinzip gilt nicht:

Bei Finite-Element-Modellen kann man drei grundsätzliche Ursachen der Nichtlinearität unterscheiden:

1. Material-Nichtlinearität = Abhängigkeiten der Materialparameter von berechneten Ergebnisgrößen, z.B. in der Strukturmechanik:
   • E-Modul bleibt nicht konstant infolge einer nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Kurve.
   • Eine sich ändernde Spannungs-Dehnungskurve-Kurve (Hysterese) durch Plastizität.
2. Geometrie-Nichtlinearität = Auftreten von Verschiebungen quer zur Lastrichtung (in der Strukturmechanik):
   • Mit Ausnahme von Stab-Elementen treten infolge von Querkontraktion in FE-Modellen immer Verschiebungen quer zur Lastrichtung auf.
   • Wirkt die Struktur als ebener bzw. räumlicher Bewegungswandler (z.B. z=f(x,y)), ist die Übersetzung der Bewegung durch nichtlineare trigonometrische Terme gekennzeichnet.
   • Für kleine Auslenkungen (z.B. kleiner als die Wanddicke des Bauteils) kann man geometrische Nichtlinearität meist vernachlässigen.
   • Im Bauwesen schreiben Normen vor, geometrische Nichtlinearitäten zu berücksichtigen, wenn die Verformungen dadurch um mehr als 10% zunehmen!
3. Strukturnichtlinearität = Umschalten des Verhaltens von Modellbereichen bei bestimmten Ereignissen:
   • Kontakt-Nichtlinearität in der Strukturmechanik bei Verformung (Siehe: Baugruppenbehandlung in Z88Aurora)
   • Der Kontaktsolver behandelt nur die Unstetigkeiten der Kontaktstellen. Die Simulation der Bauteile erfolgte unabhängig davon im Übungsbeispiel als lineare Systeme.

Geometrische Nichtlinearitaet

Die strukturierten vernetzten FE-Modelle des Gummipuffers berechneten wir bisher nur mit dem Solver des Moduls "Lineare Festigkeit" (entspricht der empfohlenen Vorgehensweise):

• Die linearen Ergebnisse ermöglichen eine Validierung des Modells und vermitteln einen Eindruck zum Bauteilverhaltens.
• Falls (wie in unserem Beispiel) nicht nur "unmerkliche" Verformungen auftreten, sollte man als nächstes die geometrischen Nichtlinearitäten in die Simulation einbeziehen.

Wir behandeln die Einbeziehung der Nichtlinearitäten nur am Beispiel des 2D-axialsysmmetrischen Modells mit Streckenlast:

• Neuen Projekt-Ordner erzeugen FEM2_Z88h_Nonlinear_Geom_xx als Kopie des Ordners "FEM2_Z88f_2D_Streckenlast_xx".
• Nach Öffnen dieser neuen Projektmappe im Z88Aurora muss man nur das benutzte Berechnungsmodul wechseln ("lineare Festigkeit" → "Nichtlineare Festigkeit").

Der weiterhin nutzbare PARDISO-Solver kann nun mit Parametern an das nichtlineare Problem angepasst werden:

1. Lösungsverfahren:
   • Das Lösen des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt iterativ auf Grundlage einer Linearisierung des Gleichungssystem im Punkt der aktuellen Näherungslösung. Der PARADISO-Solver löst dabei in jedem Iterationsschritt die aktuell approximierten linearen Gleichungssysteme, um eine verbesserte Näherungslösung zu erhalten.
   • Newton-Raphson-Verfahren ist der in der FEM am meisten verwendete Algorithmus zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. Wir verwenden dieses standardmäßig eingestellte Verfahren.
   • Bogenlängenverfahren ist eine Modifikation des Newton-Raphson-Verfahrens mit einer schnelleren Konvergenz zur Lösung bei stetigen Nichtlinearitäten.
2. Abbruchstrategie:
   • Der Abbruch des nichtlinearen Lösungsverfahrens erfolgt standardmäßig vor Erreichen der maximalen Iterationzahl, wenn die "Norm" unter die Abbruchschranke des Residuums "TOL" fällt.
   • "Norm" ist dabei die Abbildung des Fehlervektors auf eine nicht-negative reele Zahl. Sie repräsentiert die Abweichung von der gewünschten Lösung im Sinne des Residuum.
   • Im Spezialfall kann man den Abbruch auch veranlassen, wenn die Norm steigt. D.h., wenn sich die Lösung bei der Iteration wieder verschlechtert!
3. Verfahrensparameter:
   1. Max. Iterationen dient als Abbruchkriterium für das Lösungsverfahren.
   2. Residuum (TOL) beschreibt die geforderte Genauigkeit.
   3. Bogenlänge ist der Parameter für das Bogenlängenverfahrens.
   4. Anzahl der Lastschritte gibt an, in wie vielen Stufen die Last von Null beginnend bis zum Endwert erhöht wird. Für jeden Lastschritt wird die nichtlineare Lösung berechnet. Die jeweils aktuelle Laststufe dient als Anfangslösung für den nächsten Lastschritt:
      • Anzahl = 1 entspricht dem "Full" Newton-Raphson-Verfahren (sofort volle Last-Amplitude)
      • Anzahl > 1 entspricht dem Inkrementellen Newton-Raphson-Verfahren (äquidistante Lastschritte ohne "Rückfederung")
   5. Rückfederung berechnen aktiviert eine automatische Schrittweitensteuerung für die Lastschritte.
4. Solver-Konfiguration:
   
   • Automatisch Umschalten: ist dieses aktiviert, erfolgt bei sehr kleinen Strukturen eine automatische Umschaltung des Sparse-Solvers auf das Gaussverfahren
   • Speicherung der Pardisofelder: ist dieses aktiviert, wird zusätzlicher Hauptspeicher für die Sicherung von Solverdaten zugeordnet, um das Rechenverfahren zu beschleunigen (nur mit Placebo-Effekt bei unserem kleinen Modell!).
5. Ausgabe-Konfiguration:
   
   • Die Ausgabe nach jedem Lastschritt ermöglicht eine Animation der schrittweisen Lasterhöhung von 0 auf 100 %. Dies ist im Sinne einer Modellvalidierung sehr anschaulich und deshalb als Standard aktiviert.
   • Eine Ausgabe nach jeder Iteration z.B. des Newton-Raphson-Verfahrens innerhalb der Lastschritte benötigt man nur im Spezialfall zur Fehlersuche.
   • Bei validiertem Modell genügt die Ausgabe der Endergebnisse für die vollständige Belastung.

Wir starten den Solver mit den Standardeinstellungen. Die 25 Lastschritte benötigen ca. 2 Minuten. Danach stehen die Ergebnisse im Postprozessor zur Verfügung und können manuell als "Animation" durchgeblättert werden:

• Bei den dargestellten Lastschritten handelt es sich um wirklich berechnete Ergebnisse, nicht um eine lineare Interpolation zwischen Anfangs- und Endzustand, wie wir sie aus der Belastungsanimation mittels Autodesk Inventor kennen.
• Der Endwert für die Deformation des gesamten Gummipuffers in axialer Richtung ist bei Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearität ca. 10% größer, als es die Berechnung mit dem linearen Solver ergab.
  
• Infolge der vielen aufgezeichneten Lastschritte entstehen Daten im Umfang von über 500 MByte im Projekt-Ordner:
  • Es besteht die Möglichkeit, nur die Daten des Endergebnisses aufzuzeichnen.
  • Für nur "leicht" nichtlineare Probleme (wie in unserem Beispiel) genügt aber auch 1 Lastschritt. Das "Full" Newton-Raphson-Verfahren kann dann ebenfalls mit wenigen Iterationen die Lösung finden!

Die berechneten Ergebnisse mit 1 Lastschritt sollten exakt zu den gleichen Werten führen, welche wir für den 25. Lastschritt ablesen können:

• Die Simulation mittels "Full" Newton-Raphson-Verfahren dauert nur ca. 15 Sekunden und der Projekt-Ordner umfasst danach nur noch ca. 25 MByte.
• Dieser Zustand ist als Bestandteil der Lösung einzusenden!

Fragen

Im Vergleich zu den linearen Ergebnissen des 2D-Axialmodells für die Streckenlast sind folgende Werte zu analysieren:

1. Wie stark wird der Gummipuffer maximal in Längsrichtung zusammengedrückt?
2. Wie groß sind die Maximalwerte der Mises-Spannung direkt an der Stahlscheibe und im Innern des Gummimaterials für die maximale Belastung.
3. Wie groß ist die prozentuale Abweichung für diese Werte?

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