Software: FEM - Tutorial - Feldkopplung - Nichtlineare Probleme

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Nichtlineare Probleme

In den Übungsbeispielen dieser Lehrveranstaltung wurden bisher nur lineare Probleme behandelt. Das bedeutet, die Matrizen der Modellgleichung {M}, {C} und {K} und die äußere Einwirkung {F} sind unabhängig von den berechneten Größen {u}:

Inhaltlich bedeutet Linearität:

• die Materialkennwerte sind unabhängig von der Beanspruchung der Materialien;
• keine Rückwirkung auf die äußere Last;
• keine Rückwirkung auf Einspannungen (z.B. schließende / öffnende Kontakte).
• die Geometrie des Bauteils ändert sich durch die Beanspruchung nur unwesentlich (keine Instabilitäten wie z.B. Verbeulen, Wegknicken, Einschnüren von Energieflusswegen);
• ein n-facher Wert für eine äußere Last bewirkt einen n-fache Größe der Modell-Reaktion (z.B. Auslenkungen, Spannungen).

Numerisch bedeutet der lineare Fall:

• es existieren sehr effiziente Algorithmen auch für transiente Berechnungen des Modellverhaltens.
• es gilt der Überlagerungssatz, d.h. man kann die Lösungen getrennt berechneter Lastfälle additiv zusammenfassen.

Die Annahme eines linearen Verhaltens ist oft eine unzulässige Vereinfachung, da in der Realität:

• die Materialkennwerte abhängig sind von der Beanspruchung der Materialien.
• das Modell auf die Quelle der äußeren Last zurückwirkt.
• ein n-facher Wert für eine äußere Last nicht eine n-fache Größe der Modell-Reaktion bewirkt.

Numerische Behandlung nichtlinearer Modelle:

• iterative Verfahren, die sich dem "Gleichgewichtszustand" der Lösung schrittweise nähern.
• die Konvergenz der Gleichungslösung ist nicht garantiert.
• die Berechnungen sind bedeutend zeitaufwändiger als für lineare Probleme.
• schwierige Validierung des berechneten Verhaltens, da der gesunde Menschenverstand durch die Nichtlinearitäten meist überfordert ist.

Für die Modellbildung bedeutet das:

• Man sollte grundsätzlich überlegen, ob ein lineares Modell für das Problem in Hinblick auf die Genauigkeit der Ergebnisse ausreichend ist:

1. zuerst lineares Modell bilden (wenn nicht sofort klar ist, dass die nichtlinearen Effekte das Verhalten entscheidend beeinflussen werden)
2. mit dem linearen Modell analysieren, wie groß der Einfluss der Änderung von Werkstoffkenngrößen und äußerer Einwirkung ist (auch Abschätzung der Verformungsrückwirkung)

• Die Nutzung nichtlinearer Modelle erfordert viel Erfahrung (sonst sind die Fehler größer, als mit den linearen Vereinfachungen), kostet Zeit und damit letztendlich Geld.

Die magnetische Domäne ist bei Verwendung von ferromagnetischen Werkstoffen ein typischer Bereich für die Notwendigkeit nichtlinearer Modelle. Im Rahmen dieses Tutorials wird das im letzten Übungskomplex behandelt.

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