Software: FEM - Tutorial - Feldkopplung - Strukturmechanik und Potentialprobleme
Die Gleichung des gedämpften Einmassen-Schwingers mit einem Freiheitsgrad der Bewegung wird als bekannt voraus gesetzt:
m Masse ü Beschleunigung (a=dv/dt) c Dämpfung ú Geschwindigkeit (v=du/dt) k Steifigkeit u Verschiebung (Auslenkung) f(t) zeitlich veränderliche Kraft
Die Terme der Gleichung beschreiben 3 Kraftwirkungen, deren Summe mit der Erregung (der Last) im Gleichgewicht steht:
- Fm= m·ü Trägheitskraft infolge Beschleunigung
- Fc = c·ú Dämpfungskraft infolge Geschwindigkeit
- Fk = k·u Rückstellkraft infolge Auslenkung
Die Finite-Elemente-Methode basiert in der Domäne der Mechanik auf dieser Bewegungsgleichung. Sie wird jedoch verallgemeinert zum allgemeinen Mehrmassenschwinger als Matrizen-Gleichung ausgeführt:
{M} Massenmatrix
{ü} Beschleunigungsvektor
{C} Dämpfungsmatrix
{ú} Geschwindigkeitsvektor
{K} Steifigkeitsmatrix
{u} Verschiebungsvektor
{F(t)} Kraftvektor (Lastvektor)
Die Größe der Matrizen und Vektoren wird durch die Anzahl der Knoten des Netzes bestimmt. Dem Gleichungssystem entspricht die folgende Ersatzschaltung (Beispiel-Netz aus Dreieck-Elementen):
Jeder Knoten beschreibt einen Massepunkt:
- Aus der Massedichte der Materialien und der Geometrie der Elemente ist die Masse eines jedes Elementes bestimmbar.
- Diese Elementmasse wird so auf die Knoten des Elements verteilt, dass für jedes Element die Summe aller Knotenmassen gleich der Elementmasse ist und die Teilmassen den gleichen gemeinsamen Schwerpunkt besitzen wie das Element.
- Werden Knoten von mehreren Elementen benutzt (der Normalfall), so ergibt sich ihre Masse als Summe aller anteiligen Elementmassen.
- Jeder Knoten ist über Feder-Dämpfer mit allen seinen Nachbarn verbunden (Bei QUAD-Elementen verlaufen z.B. auch über die Viereck-Diagonalen Feder-Dämpfer).
- Kraftvektoren (Lastvektoren) greifen direkt an den einzelnen Knoten an und widerspiegeln den Einfluss der Netzumgebung (angedeutet mit FK(t) an Knoten mK).
Der mathematische Apparat für die Mechanik lässt sich über die Analogie-Beziehungen auf andere physikalische Domänen übertragen. Dabei können für die Elemente die gleichen Formfunktionen (Ansatzfunktionen) verwendet werden. Ausgetauscht werden nur für die Knoten die Freiheitsgrade. So werden für Temperaturfelder die mechanischen Freiheitsgrade durch die Knoten-Temperaturen ersetzt:
{C} Wärmekapazitätsmatrix
{T'} Vektor der Temperaturänderungsgeschwindigkeit
{K} Leitfähigkeitsmatrix
{T} Temperaturvektor
{Q(t)} Wärmestromvektor
Die Wärmegleichung beschreibt die Leistungsbilanz für jeden Knoten:
- Q(t) Energiefluss zur Netzumgebung (Last)
- C·T' Energiefluss in Wärmespeicher des Knoten
- K·T Energiefluss über die Wärmeübergangswiderstände zu den Nachbarknoten
In der FEM-Domäne "Wärme" gilt die folgende Ersatzschaltung (am Beispiel eines Netzes aus Dreieck-Elementen):
Jeder Knoten beschreibt eine Wärmekapazität:
- Die Wärmekapazitäten werden wie die Knotenmassen in der Mechanik ermittelt.
- Die Wärmekapazität ergibt sich durch Berücksichtigung der spezifischen Wärme des Materials.
- Werden Knoten von mehreren Elementen benutzt (der Normalfall), so ergibt sich die Gesamtwärmekapazität als Summe der Element-Anteile.
- Jeder Knoten ist über Wärmeübergangswiderstände mit allen seinen Nachbarn verbunden.
- Die Wärmeübergangswiderstände setzen sich zusammen aus Wärmeleitung, Strahlung und Konvektion.
- Wärmeströme (Lastvektoren) werden direkt in den einzelnen Knoten eingespeist und widerspiegeln den Einfluss der Netzumgebung.
Die Strukturmechanik soll hier dem Temperaturfeld als Stellvertreter für beliebige Potentialfeldern gegenüber gestellt werden:
1. Primär-Ergebnisse der FEM-Berechnung für jeden Knoten
- Mechanik: Vektorgrößen mit den max. 6 Freiheitsgraden der Bewegung
- Potentialfeld: skalare Größen (Potential-Wert ohne Richtung, z.B. Temperatur)
2. Sekundär-Ergebnisse der FEM-Berechnung
- Mechanik: Vektorgrößen der Haupt- und Vergleichsspannungen sowie der Lagerkräfte
- Potentialfeld: Vektorgrößen der Flüsse (z.B. Wärmestrom)
3. Energieformen
- Mechanik: Potentielle und kinetische Energie (ermöglicht Oszillation)
- Potentialfeld: nur potentielle Energie (innerhalb einer physikalischen Domäne keine Oszillation, nur Tiefpass-Charakter)
4. Max. Anzahl der zeitlichen Ableitungen der Primär-Ergebnisse
- Mechanik: bis zur 2.Ableitung (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung)
- Potentialfeld: bis zur 1.Ableitung (Potential, Potentialänderungsgeschwindigkeit)
