Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - Wirbelfeld-Ansatz

Aus OptiYummy

↑

Am Beispiel einer 2D-Magnetfeld-Berechnung soll verdeutlicht werden, was sich hinter der Begriffs- und Formelwelt verbirgt, mit welcher man bei der FEM-Simulation konfrontiert wird.

[bearbeiten] Gewünschte Simulationsergebnisse

In einem abgegrenzten Gebiet der x,y-Ebene sollen die magnetische Induktion B(x,y) und die elektrische Feldstärke E(x,y) als grundlegende Größen berechnet werden:

• Die magnetische Induktion B(x,y) ist ein Vektor in der x,y-Ebene
• Die elektrische Feldstärke E(x,y) ist ein Vektor in z-Richtung (Senkrecht zur Induktion!)
• Alle anderen elektrischen und magnetischen Größen lassen sich über Abhängigkeiten aus B und E berechnen.

[bearbeiten] Maxwellsche Gleichungen

Der Wirbelfeld-Ansatz berücksichtigt die Verkopplung zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld über die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen sowie die Quelleneigenschaften von magn. und elektrischem Feld:

1. Durchflutungsgesetz (rot H = J + δD / δt)
   Das Umlaufintegral der magn. Feldstärke (MMK) ist gleich der Summe der von diesem Umlauf umfassten Ströme, dies verdeutlicht die Integralform (Gesetz von Stokes).
2. Induktionsgesetz (rot E = -δB / δt)
   Das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke ist gleich der von diesem Umlauf umfassten Flussänderungsgeschwindigkeit (EMK)
3. Quellenfreiheit des Magnetfeldes (div B=0)
   Der in eine Hülle "hineinströmende" Fluss ist gleich dem aus dieser Hülle "herausströmenden" Fluss.
4. Elektrische Ladungsquelle (div D=ρ)
   Die Differenz aus der in eine Hülle hineinströmenden Ladung und der herausströmenden Ladung entspricht der Ladungsänderung des umhüllten Volumens.

[bearbeiten] Magnetisches Vektorpotential

Das Berechnungsproblem lässt sich numerisch vereinfachen, wenn man es auf die Berechnung des so genannten magnetischen Vektorpotentials reduziert:

• Für beliebige Wirbelfelder (die immer quellenfrei sind!) lässt sich ein "allgemeines" Vektorpotential A definieren (div rot A=0).
• Für magnetische Felder gilt wegen der Quellenfreiheit div B=0.
• Daraus schlussfolgerte Maxwell B=rot A, womit der Zusammenhang zwischen "konkreter" Induktion und "abstraktem" Vektorpotential hergestellt ist.
• Da A als zu berechnende Unbekannte in unserem 2D-Beispiel nur eine Komponente in z-Richtung besitzt, reduziert sich der Rechenaufwand für das Gleichungssystem gewaltig.
• A(x,y) kann man sich als Lösungsfläche über der betrachteten x,y-Ebene vorstellen, wenn man die Länge z des Vektors A(x,y) als Höhenwert über dem Punkt (x,y) aufträgt.
• Die Neigung dieser Fläche entspricht in jedem Punkt (x,y) der dort vorhandenen Induktion B(x,y):

• Das ergibt sich aus der vollständigen Koordinaten-Darstellung des Differential-Operators rot. Weil A(x,y,z) nur ein Vektor in z-Richtung ist, sind die partiellen Ableitungen von A_x und A_y in alle 3 Koordinatenrichtungen gleich Null:

• Das Bild soll den Zusammenhang zwischen dem Vektorpotential A und der Induktion B am Beispiel eines homogenen Magnetfeldes verdeutlichen. Die grüne Fläche repräsentiert das berechnete Vektorpotential. Der negative Anstieg an der Fläche entspricht im Beispiel dem Wert der Induktion in y-Richtung.
• Stellt man das Vektorfeld durch Equipotential-Linien dar, indem man Punkte gleichen Vektorpotentials (gleicher Höhe) verbindet, so entsteht das Feldlinienbild des Magnetfeldes:
  • Zwischen benachbarten Equipotential-Linien existieren gleiche Potentialdifferenzen.
  • Starke Anstiege des Vektorfeldes entsprechen großen Induktionswerten und widerspiegeln sich in dicht beieinander liegenden Feldlinien.