Software: FEM - Tutorial - Magnetfeld - Probabilistik - Momenten-Methode

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Probabilistische Simulation - Momenten-Methode

Vergleichend zur Toleranzsimulation mit der Sampling-Methode Latin Hypercube Sampling soll nun der analytische Ansatz der Moment-Methode benutzt werden:

• Durch Duplizieren gewinnen wir aus dem Zufallszahlen-Experiment die Grundlage für die Konfiguration eines neuen Experiments.
• Auch für das neue Experiment vergeben wir einen sinnvollen Namen.
• In dem neuen Experiment müssen wir die Versuchsplanung entsprechend umkonfigurieren und die Darstellung von Ergebnissen neu organisieren.

Moment-Methode

Der erste Schritt der Moment-Methode verläuft ähnlich wie bei den Sampling-Methoden - es wird ein Ersatzmodell gebildet:

• Für jede Ergebnis-Größe (Gütekriterien und Restriktionen) des Workflows wird eine Funktion f gebildet, mit welcher sich der Wert der Ergebnis-Größe aus dem Variablenvektor x der n Streu-Größen berechnen lässt.
• Für die Approximation jeder dieser Funktionen f wird im Unterschied zur Sampling-Methode eine Taylor-Reihe benutzt. Ihre Approximationsordnung ist dabei auf den Maximalwert 2 beschränkt (First Order=1 / Second Order=2).
• Hinweis: Bei Wahl der Momenten-Methode zur statistischen Versuchsplanung sind die Einstellungen der Gütekriterien in Hinblick auf die Approximation wirkungslos!
• Wir nutzen zuerst die Second Order Analysis (Ordnung=2) mit Berücksichtigung von Interaktionen (Wechselwirkungen) zwischen den Streu-Größen. Die vollständige Funktion dafür lautet:

Die erforderlichen Ersatz-Übertragungsfunktionen werden durch die Berechnung von Stützstellen gewonnen:

• Pro Streu-Größe S_i werden nur drei Stützstellen genutzt (Grenzwerte und Mittelwert)
• Bedingt durch die kombinatorische Abtastung des Modells steigt die benötigte Anzahl der Modell-Läufe quadratisch mit der Anzahl der Streu-Größen n (Simulationsläufe = 2·n²+1).
• Diese Art der Gewinnung eines Ersatz-Modells führt nur zu einem hinreichend genauen Ergebnis, wenn für das zu approximierende reale Modellverhalten Taylor-Reihen 2. Ordnung ausreichend sind. Zum Glück ist dies für die Mehrzahl der Anwendungsfälle zutreffend.

Nach der Berechnung des Ersatz-Modells (Menge von Taylor-Reihen) erfolgt die eigentliche Analyse wieder auf Basis dieses Ersatz-Modells. Hier existiert nun der entscheidende Unterschied zu den Sampling Methoden:

• Die statistischen Momente der Ausgangsgrößen werden analytisch näherungsweise aus den statistischen Momenten der Eingangsgrößen berechnet. Aus den berechneten Momenten werden anschließend die Verteilungen der Ausgangsgrößen approximiert.
• Das Verfahren der Second Order Analysis arbeitet sehr genau, wenn das Verhalten der Ausgangsgrößen im Streu-Bereich höchstens quadratische Abhängigkeiten zu den Streu-Größen aufweist. Die Ergebnisse mit 4 Streu-Größen sind dann vergleichbar mit einer Monte-Carlo-Simulation bei einer Stichprobengröße von 100.000. Da das Verfahren ohne Zufallszahlen arbeitet, ist es numerisch sehr stabil und erlaubt auch eine schnelle Optimierung unter Berücksichtigung von Streuungen.
• Der Nachteil der Second Order Analyse liegt in dem hohen Rechenaufwand bei einer großer Anzahl von Streu-Größen (Simulationsläufe = 2·n²+1).

Analyse

• Nach Start der Simulation erfolgen zuerst die Modellrechnungen für die Gewinnung des Ersatz-Modells. Erst danach werden die Verteilungen der Ausgangsgrößen berechnet. Die Ergebnisse der Probabilistik stehen also erst nach allen Modellberechnungen zur Verfügung.
• Man kann dies sehr gut beobachten, indem man vor dem Start der Simulation zusätzlich zu den Verteilungsdichten der Streuungen auch die 2D-Anthill-Plots F(#sAnker), F(#sGleit) und F(#sDeckel) öffnet:
  
  

Während der 19 Abtastberechnungen werden schrittweise die Punkte in den Anthill-Plots abgebildet. Anhand der senkrechten Linien erkennt man deutlich die Abtastungen in der Mitte und an den Rändern jeder Streu-Größe.
Damit wird der gesamte Streu-Raum sehr gleichmäßig abgetastet, wie man sehr gut im 3D-Anthill-Plot erkennt.

Erst nach der kompletten Abtastung erscheinen die Verteilungen:

Hinweis: Histogramme stehen bei der Moment-Methode nicht zur Verfügung!

• Die Genauigkeit des approximierten Modells an den Abtastpunkten kann man wie bei der Sampling-Methode über das Residual-Diagramm beurteilen (Analyse - Antwortflächen - Residuum-Plot).

An zwei Abtaststellen ist die Abweichung im Beispiel um ca. den Faktor 5 höher, als die Maximalabweichung bei der Sampling-Methode. Da diese Abweichung des Ersatzmodells aber nur bei ca. 1% im Vergleich zur realen Modellberechnung liegt, kann man das akzeptieren.

Achtung:
Die Genauigkeit an den Abtaststellen der Moment-Methode sagt nichts über die Genauigkeit des Ersatz-Modells zwischen den Abtaststellen aus! Ob die gewählte Ordnung für die Taylor-Reihen ausreichend ist, kann man nur mit einer hinreichend großen Stichprobe in der Sampling-Methode überprüfen.

Nun ist sicher interessant, ob man in Hinblick auf den Einfluss der Streuungen zum gleichen Ergebnis kommt, wie bei der Sampling-Methode:

• Korrelationsmatrix und -tabelle stehen bei der Momenten-Methode nicht zur Verfügung.
• Aber Sensitivität-Chart und -Tabelle liefern diese Informationen:
  Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy sec ord sensitiv chart.gif Datei:Software FEM - Tutorial - Magnetfeld - optiy sec ord sensitiv tab.gif
• Bis auf winzige Abweichungen erhält man die gleichen Ergebnisse, wie bei der Sampling-Methode.
  

Die praktische Gleichheit von Haupt- und Totaleffekt bedeutet, dass es keine Interaktionen (Wechselwirkungen) zwischen den Streugrößen gibt. Mit dieser Erkenntnis sollte man die Versuchsplanung entsprechend ändern:

• Die Auswirkung auf Berechnungszeit einer Stichprobe ist enorm, da der Großteil der Abtastschritte für die Berücksichtigung der Interaktionen benötigt wird. Die benötigte Anzahl der Modell-Läufe steigt nun nur noch linear mit der Anzahl der Streu-Größen n (Simulationsläufe = 2·n+1).
• Im Beispiel verringert sich die erforderliche Zahl von Modellrechnungen von 19 auf 7, was man im 3D-Anthill-Plot gut beobachten kann.
• Die mit dieser "reduzierten" Second-Order-Methode erzielten Ergebnisse sind im Beispiel praktisch identisch, da es keine Wechselwirkungen zwischen den Streu-Größen gibt.

Hinweis:
Die First-Order-Approximation ohne Interaktion erfordert nur n+1 Modellabtastungen. Allerdings werden damit nur Hyperebenen (ohne Krümmung) zwischen den abgetasteten Ecken des Streu-Raumes interpoliert.

Das ist im Beispiel zwar nicht ganz exakt, aber die damit ermittelten Ergebnisse sind nicht wesentlich andere. Besitzt man nur ein FEM-Modell mit sehr langen Berechnungszeiten, so sollte man in diesem Fall die Stichproben-Simulation innerhalb von Optimierungsexperimenten mit diesem First-Order-Ansatz durchführen!

Aufgabe

Teilnehmer der Lehrveranstaltung "Praktische Einführung in die FEM" ermitteln mit der Moment-Methode Second Order ohne Interaktionen für die Haltekraft F beim Spulenstrom i=0.2xx A den Mittelwert und Standardabweichung. Als Toleranzen sind die bisherigen Toleranzbreiten zu nutzen:

• sAnker = 50 µm ±20 µm
• sDeckel = 20 µm ±10 µm
• sGleit = 80 µm ±20 µm

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