Software: SimX - Einfuehrung - Elektro-Chaos - Schwingkreis mit C-Diode

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Nichtlinearer Schwingkreis mit C-Diode (Chaos-Experimente)

Nach einigen theoretischen Betrachtungen, so im Folgenden versucht werden, reale physikalische Chaos-Experimente mittels der numerischen Simulation nachzuvollziehen. Dabei benutzen wir die Veröffentlichung Experimente zur Untersuchung linearer und nichtlinearer elektrischer Serienschwingkreise von Burkhard Wolf und Hans-Josef Patt, welche als PDF-Datei abrufbar ist.

Nichtlineare Systeme

Alle Systeme, welche keine linearen Systeme sind, sind nichtlineare Systeme:

• Nichtlineare Systeme enthalten Elemente, deren Parameterwerte abhängig von der Belastung des Elements sind (z.B. Kapazität als Funktion der anliegenden Spannung) oder erhalten "zufällige" Eingangssignale (z.B. Zeitabhängige Frequenzänderung der Betriebsspannung).
• Für nichtlineare Systeme existieren (im Normalfall) keine analytischen Lösungen.
• Nichtlinearität ist in Natur und Technik der Regelfall. Die linearen Näherungen der klassischen Natur- und Technikwissenschaften beschreiben die grundlegenden Effekte (=Zusammenhänge zwischen Ursache und Wirkung) der jeweiligen physikalisch-technischen Domäne (E-Technik, Mechanik, Fluidtechnik, usw.). Sie vermitteln das grundlegende Verständnis, welches man auch zur Modellierung nichtlinearer Systeme anwenden kann.
• Das Verhalten nichtlinearer Systeme kann der "gesunde Menschenverstand" nicht immer vorhersagen. Ähnliche Startbedingungen führen häufig zu stark verändertem Verhalten.

Chaotische Systeme

Damit ein nichtlineares System chaotisches Verhalten zeigt, müssen zusätzlich zur "Nichtlinearität" weitere Kriterien erfüllt sein:

• Es muss mindestens eine Stelle starker sensitiver Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen existieren. Umgangssprachlich ist dies als Schmetterlingseffekt bekannt. Kleinste Änderungen der Startparameter führen langfristig zu völlig anderem Verhalten. Man spricht hierbei von deterministischem Chaos.
• Das System muss hinreichend viele Freiheitsgrade für die Bewegung im sogenannten Phasenraum besitzen:
  • Der Zustand des Systems wird darin zu jedem Zeitpunkt durch einen Punkt in einem Raum dargestellt werden, dessen Koordinatenachsen durch den Satz der unabhängigen Zustandsgrößen (=Integralgrößen) des Systems gegeben sind. Die Dynamik des Systems lässt sich damit als Bahn (Trajektorie) dieses Punktes im Phasenraum interpretieren. So wird beispielsweise der Phasenraum eines LCR-Schwingkreises durch den Spulenstrom und die Kondensatorspannung aufgespannt. Die ungedämpfte Schwingung entspricht einer geschlossenen Kurve um den Koordinatenursprung.
  • Die Trajektorie eines Systems kann sich innerhalb des Phasenraums nicht schneiden, weil dies der Eindeutigkeit der Systementwicklung ausgehend von einem Punkt im Phasenraum widersprechen würde. In der Ebene kann es deshalb nur zu spiralähnlichen Kurven kommen. Als Spezialfall ist für ungedämpft oszillierende Systeme die geschlossene Trajektorie möglich.
  • Erst durch einen zusätzlichen Freiheitsgrad ist es im Beispiel des LCR-Schwingkreises möglich, dass von der Spiralform abweichende Trajektorien entstehen, weil "Schnittpunkte" durch Ausweichen in der 3. Koordinatenachse vermieden werden können. Der zusätzliche Freiheitsgrad wird durch die frequenzveränderliche Anregung des Schwingkreises geschaffen.

Der Phasenraum eines Reihenschwingkreises

Ein LCR-Schwingkreis besitzt zwei Energiespeicher mit jeweils einer energetischen Zustandsgrößen (Spulenstrom und Kondensatorspannung):

• Der Wert einer energetischen Zustandsgröße beschreibt eindeutig die aktuell im zugehörigen Speicher enthaltene Energiemenge.
• Ausgehend von einem gegebenen Ladezustand der Energiespeicher entwickelt sich das System im Zeitbereich, weil zwischen den Speichern ein Energiefluss über die vorhandenen Verbindungselemente erfolgt.
• Die Entwicklung eines Systems in der Zeit wird durch die Werte aller Zustandsgrößen eindeutig beschrieben.
• Sehr anschaulich sieht man die Systementwicklung durch die Trajektorie der Zustandsgrößen im Phasenraum.
• Beim schrittweisen Aufbau des Chaos-Experiments werden wir den Phasenraum detailliert betrachten.

Linearer Schwingkreis

Wir beginnen mit dem Aufbau des Serienschwingkreises aus der durch einen Gyrator simulierten Spule, dem Drehkondensator und einem Serienwiderstand:

• C = 530 pF
• L = 10 H
• R = 1000 Ω

===>>> Hier geht es bald weiter !!!

Fremderregter nichtlinearer Schwingkreis

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